jueves, 19 de junio de 2008

FRACCIONES, DECIMALES Y PORCENTAJES

En este apartado me gustaría exponeros dificultades y errores que suelen ser típicos en los alumnos a la hora de trabajar este tema. Estos errores se suelen dar en una gran cantidad de alumnos y suponen para el maestro una fuente de evaluación tanto como para enfocar de una manera mas ajustada el trabajo con el alumno como para realizar una evaluación del trabajo del propio maestro. Así pues conocer de antemano las dificultades del alumno debe servir al profesor de matemáticas como estimulante y conocimiento a la hora de aplicar su labor de enseñanza. Aquó os presento el artículo en cuestión.


Dificultades y errores relevantes.


Las dificultades de comprensión por parte de los niños dependen básicamente de dos factores, el marco experiencial (vinculado a la edad y el grado de abstracción) y de si nos referimos al significado asociado a fracción, a decimal o a porcentaje.
Si nos referimos a los significados asociados a fracción, parece que la noción de "partes de un todo" es la de más fácil comprensión por los niños, resultando más asequible la tarea de sombrear en una figura una fracción dada que la operación inversa, sobre todo si en la zona sombreada se incluyen superficies equivalentes, pero de distinta forma, como partes del todo.
La relación parte-todo, en las fracciones, puede ser objeto de aprendizaje desde aproximadamente los 8 años, según los estudios de Payne (1976), mediante el uso de modelos manipulativos como plegado de papel que pueden conducir al uso de diagramas de regiones y, posteriormente, al trabajo oral y simbólico.
Dentro de esta relación parte-todo, parece que el modelo área es más asequible que el modelo discreto o la recta numérica; sin embargo presenta algunas dificultades:
· La comprensión de la necesidad de áreas de igual tamaño.
· Las diversas transiciones desde un diagrama hasta la expresión verbal o simbólica.
· La comprensión de fracciones impropias (con las que resulta incoherente).
· La identificación de la unidad en situaciones donde hay más de una unidad.
· Las derivadas de la adición usando diagrama de áreas.
A pesar de que la representación parte-todo como modelo discreto es esencialmente similar a la de sub-áreas de una región unitaria, la ventaja que ofrece el modelo de sub-área estriba en que la unidad es más fácilmente perceptible, por lo que aquella no resulta recomendable en los primeros compases de la enseñanza de las fracciones.
Comparte con el modelo de sub-área el inconveniente relativo al trabajo con fracciones impropias pero, sin embargo, tiene como ventajas sobre aquél su potencial para llevar de forma más natural a la idea de razón y de porcentajes en situaciones numéricas específicas, en las que la fracción actúa como operador.
Aunque matemáticamente la representación como sub-longitud de una longitud unidad es una analogía unidimensional de la de sub-área de un área unitaria, suficientes resultados (Novillis, 1976) ponen de manifiesto que, entre niños de tercer ciclo de primaria, el modelo de recta numérica es bastante más complejo que el de la relación parte todo tanto en sus vertientes sub-área como la de subconjunto de un conjunto discreto, fundamentalmente porque reduce la fracción a un número abstracto. Sin embargo presenta dos ventajas desde el punto de vista curricular:
· Permite una comprensión de los racionales como extensión de los números naturales.
· Potencia la aparición de las fracciones impropias.
Las razones anteriores no son suficientes para abordar esta representación en la Educación Primaria, puesto que el trabajo con este modelo presenta básicamente dos dificultades, la derivada de la identificación de la unidad o la que surge al operar con una escala que va más allá de uno. Aunque ambos aspectos pueden solventarse con un trabajo adecuado de lectura de escalas numéricas, estas últimas razones no son compensadas, bajo mi punto de vista, con las ventajas antes señaladas.
La fracción asociada a la operación de división de los números enteros (reparto) presenta una gran similitud con el modelo de sub-área de un área unitaria cuando se trata de repartir una unidad. La situación es sin embargo más compleja cuando son varias las unidades a repartir o cuando éstas simplemente no pueden ser divididas, como sucede cuando se pretenden repartir animales u objetos que habría que “romper”.
Para Fiol y Fortuny (1990) “se puede considerar que el tema de la proporcionalidad es núcleo a partir de cual se unifican las líneas básicas de nociones como razón y proporción, fracción y número racional, número decimal y problema de la medida, ..., escalas,..., repartos proporcionales,..., regla de tres, porcentajes,...” (p. 118). Indudablemente, la fracción como comparación de los tamaños de dos conjuntos o medidas constituye el fundamento de muchas de las aplicaciones de las fracciones en la vida real. El hecho de que cuando se comparan mediante una fracción dos conjuntos o medidas el valor pueda invertirse constituye una de las diferencias esenciales entre este modelo y los anteriores, al no existir una unidad natural o un todo. El trabajo de Novillis (1976) sitúa la fracción asociada al razonamiento proporcional como de desarrollo notablemente más complejo que los aspectos anteriores. La mayoría de los chicos de tercer ciclo de primaria y primero de secundaria encuentran complejo que cualquier cantidad pueda expresarse como una fracción de otra.
En el ámbito de los decimales, las diferencias conceptuales de significado están fundamentalmente asociadas a aspectos de representación. Suponen, en este sentido, una ampliación del sistema de numeración utilizado para los números enteros.
El mismo respaldo social recibido por el sistema indoarábigo frente a otros sistemas anteriores parecen estar recibiendo los números con coma frente a las fracciones, cuyo uso parece quedar relegado tan sólo a niveles informales. Sin embargo, en la matemática escolar tradicionalmente las fracciones precedían a los decimales, enseñándose aquellas a través de situaciones concretas y mediante la relación parte todo en modelos continuos, mientras que éstos se mostraban enfatizando los aspectos de notación y suponiendo que el conocimiento de las fracciones estaba sólidamente construido.
Esta “traducción” es hoy vista como mucho más compleja de lo que siempre se ha supuesto, siendo uno de los obstáculos más relevantes la identificación de la parte decimal como una porción de la unidad. El trabajo de Brown (1981) permite aventurar que una posible razón de este obstáculo se encuentra en el uso coloquial del sistema monetario, en el que la parte de la unidad de moneda suele leerse como un número entero sin relación a una unidad concreta. En países como España, donde el sistema monetario del euro dará fin a una larga etapa en la que no han existido divisores de la moneda, hay sin embargo otros contextos, como la lectura de la hora digital o el cronometraje, que son similares al anterior.
Argumentando precisamente razones de contexto, Dickson et al. (1991) afirman que no hay razones para que la enseñanza no invierta su orden tradicional y comience por los decimales, aprovechando recursos como la calculadora, y admitiendo, por supuesto, que los niños tendrán un conocimiento informal sobre ciertas fracciones, a pesar de todo.
En la vida cotidiana el número decimal aparece de forma más natural en los contextos de medida y bajo uno de estos tres modelos:
· Como sub-área de una región unitaria.
· Como un lugar de la recta numérica o de un instrumento de medida con escala.
· Como resultado de una operación de división.
Los dos primeros parecen tener similares niveles de dificultad, siendo las décimas más asequibles que las centésimas, y así sucesivamente. En este sentido se interpreta el trabajo de Payne (1976) que permite aventurar que a través de los modelos de sub-área y recta numérica pueda comenzarse el aprendizaje de las décimas por niños de segundo ciclo de Educación Primaria.
Con el modelo de división ocurre algo similar en los decimales a lo que ocurría con las fracciones: muy pocos niños toman conciencia de que el resultado de dividir dos números enteros puede expresarse mediante decimales y les resulta difícil identificar una situación de la vida diaria donde éstos intervengan.
La gama de significados más restrictiva corresponde sin duda a los porcentajes que, aunque estrechamente vinculados a fracciones y decimales, son casi exclusivamente asimilables a la fracción como operador o mediante la comparación de dos cantidades. Cuando su significado está asociado al de operador las dificultades suelen surgir en la identificación del valor sobre el que operar y en que calcular un porcentaje de un valor dado es, en realidad multiplicar una fracción decimal (de denominador 100) por un número (la mayoría de las veces entero). Suele ser también común encontrar dificultades a la hora de saber qué porcentaje se ha aplicado cuando se conocen los valores inicial y final o cuál es el valor inicial, conocidos el porcentaje y el valor final, situaciones muy comunes en la vida cotidiana.
Cuando el significado asociado es el de comparación de dos cantidades, la dificultad estriba en identificar el porcentaje con la fracción decimal equivalente (de denominador 100) a la establecida por la comparación, o expresar (como fracción decimal) el número decimal correspondiente obtenido al efectuar la división (que procede de comparar esas cantidades).
Estas dificultades están vinculadas a la conversión de decimales a porcentajes y viceversa.